脑洞大乱斗第67关三角函数谜题破解2sinxcosx除以2ncosx答案与技巧详解

与基本思路

脑洞大乱斗第67关的三角函数谜题为：化简分式 \\(\\frac{2\\sin x \\cos x}{2n\\cos x}\\)，要求玩家通过三角恒等变换和代数运算得出最简结果。题目看似简单，但涉及三角函数的基本性质、分式约分规则以及隐含条件的分析。将分步骤解析解题过程，并总结关键技巧。

分式化简的数学逻辑

第一步：观察分子与分母的结构

分子为 \\(2\\sin x \\cos x\\)，分母为 \\(2n\\cos x\\)。从代数角度看，分子和分母均含有公因子：

通过提取公因子，可直接进行约分操作。

第二步：约分操作

1. 系数约分：

分子中的2与分母中的2相除结果为1，即：

\\[

\\frac{2}{2} = 1.

\\]

2. 三角函数约分：

分子中的\\(\\cos x\\)与分母中的\\(\\cos x\\)相除结果为1，但需满足前提条件\\(\\cos x \

eq 0\\)（后文将详细讨论隐含条件）。此时分式简化为：

\\[

\\frac{\\sin x}{n}.

\\]

化简后的最终结果为：

\\[

\\frac{2\\sin x \\cos x}{2n\\cos x} = \\frac{\\sin x}{n}.

\\]

隐含条件与陷阱分析

1. 分母不能为零的限制

分母\\(2n\\cos x\\)需满足不为零的条件，即：

\\[

2n\\cos x \

eq 0 \\quad \\Rightarrow \\quad n \

eq 0 \\quad \

ext{且} \\quad \\cos x \

eq 0.

\\]

这意味着：

技巧提示：在涉及分式化简的题目中，必须明确分母不为零的条件，否则可能导致答案不严谨。

2. 三角恒等式的替代解法

题目中的分子\\(2\\sin x \\cos x\\)可联想到双角公式：

\\[

\\sin 2x = 2\\sin x \\cos x.

\\]

若使用此公式，原分式可改写为：

\\[

\\frac{\\sin 2x}{2n\\cos x}.

\\]

进一步拆分系数：

\\[

\\frac{\\sin 2x}{2n\\cos x} = \\frac{\\sin 2x}{2 \\cdot n \\cdot \\cos x}.

\\]

但此路径并未简化计算，反而可能增加步骤复杂度。直接约分是更优策略。

关键技巧总结

1. 优先提取公因子

在分式化简问题中，若分子与分母存在显式的公因子（如相同系数、相同三角函数项），应优先进行约分。这能快速简化表达式，避免冗余计算。

2. 警惕分母为零的情况

约分过程中需始终关注分母的组成部分，确保每一步操作均满足分母不为零的条件。例如本题中需同时保证\\(n \

eq 0\\)和\\(\\cos x \

eq 0\\)。

3. 灵活选择三角恒等式

虽然本题使用双角公式并未简化计算，但在其他题目中，灵活运用三角恒等式（如\\(\\sin^2 x + \\cos^2 x = 1\\)、和差公式等）可能成为解题关键。需根据题目结构选择最简路径。

常见错误与验证方法

1. 错误类型

eq 0\\)或\\(n \

eq 0\\)；

2. 验证答案正确性

将化简结果代入原式，检验等价性。例如：

\\[

\\frac{2 \\cdot \\sin 30^\\circ \\cdot \\cos 30^\\circ}{2 \\cdot 1 \\cdot \\cos 30^\\circ} = \\sin 30^\\circ = 0.5,

\\]

化简结果\\(\\frac{\\sin 30^\\circ}{1} = 0.5\\)，与原式一致。

通过分步约分与条件分析，脑洞大乱斗第67关的正确答案为\\(\\frac{\\sin x}{n}\\)，其成立的前提是\\(n \

eq 0\\)且\\(\\cos x \

eq 0\\)。本题考察了分式化简的基本功、三角函数的性质理解以及对隐含条件的分析能力。掌握上述技巧后，类似题目可快速破解。